HÀ HUY KHOÁI (Tổng Chủ biên)
CUNG THẾ ANH - TRẦN VĂN TẤN - ĐẶNG HÙNG THẮNG (đồng Chủ biên)
TRÀN MẠNH CƯỜNG - LÊ VĂN CƯỜNG - NGUYỄN ĐẠT ĐĂNG - LÊ VĂN HIỆN
PHAN THANH HỒNG - TRẦN ĐÌNH KẾ - PHẠM ANH MINH - NGUYỄN KIM SƠN

TOÁN 12
SÁCH GIÁO VIÊN

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

Chương II. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (14 tiết)
A

TỔNG QUAN

1 Vị trí, vai trò của chương
 Phần Hình học ở lớp 12 tiếp nối phần hình học không gian ở lớp 11 và được chia thành
hai phần ứng với hai tập: phần 1 (tập 1, chương II) giới thiệu về vectơ trong không gian
và hệ trục toạ độ trong không gian; phần 2 (tập 2, chương V) giới thiệu về phương pháp
toạ độ trong không gian. Phần kiến thức này là sự mở rộng của phương pháp toạ độ
trong mặt phẳng hai chiều cho trường hợp không gian ba chiều. Nếu trong Chương trình
trước đây, phần vectơ trong không gian được trình bày ở lớp 11 (để tạo cơ sở nghiên cứu
quan hệ vuông góc trong không gian) thì theo Chương trình 2018, phần kiến thức này
chỉ được đề cập trong chương trình lớp 12.
 Nếu trong chương trình Hình học ở lớp 10, HS đã được giới thiệu về vectơ trong mặt
phẳng và các khái niệm liên quan thì trong chương trình Hình học lớp 12, HS tiếp tục
được giới thiệu về vectơ trong không gian. Nhìn chung, các khái niệm và tính chất của
vectơ trong không gian không khác nhiều so với các khái niệm và tính chất tương ứng
của vectơ trong mặt phẳng. Do vậy trong các bài học đề cập đến các khái niệm và tính
chất đó, các đơn vị kiến thức được trình bày một cách ngắn gọn, nhiều đơn vị kiến thức
được tích hợp trong cùng một hoạt động dạy học. Như một lẽ tự nhiên, các ví dụ và
luyện tập minh hoạ về vectơ trong không gian gắn liền với các hình không gian mà HS
đã được học ở lớp 11 như hình tứ diện, hình chóp, hình lăng trụ,…
 Nếu vectơ trong mặt phẳng là một công cụ hữu hiệu để biểu diễn các đối tượng hình
học và đại lượng có hướng trong mặt phẳng thì vectơ trong không gian cũng đóng vai
trò tương tự trong việc nghiên cứu hình học không gian. Ngoài ra, việc sử dụng thành
thạo các tính chất của vectơ trong không gian có thể mang đến những lời giải ngắn gọn
và đẹp đẽ cho một số bài tập về hình học không gian mà HS đã học ở lớp 11.
29

2 Cấu tạo chương
Chương này gồm 3 bài học và Bài tập cuối chương, được thực hiện trong 14 tiết. Cụ thể
như sau:
Bài 6. Vectơ trong không gian

6 tiết

Bài 7. Hệ trục toạ độ trong không gian

3 tiết

Bài 8. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

3 tiết

Bài tập cuối chương II

2 tiết

3 Một số lưu ý
 Nhìn chung, các kiến thức về vectơ trong không gian tương tự các kiến thức về vectơ
trong mặt phẳng. Do đó nếu HS vẫn còn nhớ các kiến thức về vectơ trong mặt phẳng đã
học ở lớp 10 thì việc truyền tải những kiến thức về vectơ trong không gian là tương đối
dễ dàng. GV có thể bắt đầu mỗi bài học bằng việc nhắc lại những kiến thức tương ứng
trong mặt phẳng; điều này sẽ giúp HS dễ dàng tiếp nhận những kiến thức tương tự
trong không gian. Ngoài ra, trong mỗi bài học, GV nên lấy các ví dụ minh hoạ về các
vectơ thực sự nằm trong không gian (tức là không cùng nằm trong một mặt phẳng) để
HS nhận thấy được sự khác biệt so với trường hợp của vectơ trong mặt phẳng. Những ví
dụ điển hình xoay quanh vectơ thể hiện vận tốc/gia tốc, độ dịch chuyển của các vật hay
lực tác động giữa các vật trong không gian,…
 Những kết quả về vectơ trong không gian có thể được chứng minh theo cách tương tự
như các kết quả về vectơ trong mặt phẳng, hoặc sử dụng các kết quả tương ứng về vectơ
trong mặt phẳng. GV nên nhấn mạnh sự tương đồng này để HS thấy rằng các kết quả về
vectơ trong không gian chính là sự mở rộng của các kết quả về vectơ trong mặt phẳng.
 Một số những ví dụ vận dụng về vectơ trong không gian liên quan đến các kiến thức
trong Vật lí như nguyên tắc tổng hợp lực, Định luật III Newton về lực tác dụng và phản
lực,… Những HS không theo định hướng Khoa học tự nhiên và Công nghệ có thể
không lựa chọn Vật lí là môn học tự chọn và do đó sẽ không biết đến các kiến thức nêu
trên. Trong trường hợp đó, GV cần giải thích kĩ hơn về các khái niệm trên, đồng thời
gợi lại những ví dụ vận dụng tương tự đã giới thiệu trong phần vectơ trong mặt phẳng ở
lớp 10 để giúp HS không bị bỡ ngỡ trước những kiến thức liên môn.

30

B GIỚI THIỆU CHI TIẾT CÁC BÀI HỌC

Bài 6. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (6 tiết)
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức, kĩ năng
– Nhận biết được vectơ trong không gian: hai vectơ cùng phương, hai vectơ cùng
hướng/ngược hướng, hai vectơ bằng nhau.
– Nhận biết và thực hiện được các phép toán vectơ trong không gian.

2. Về năng lực, phẩm chất
– Các phẩm chất trách nhiệm, chăm chỉ, trung thực (xuyên suốt bài học), yêu nước (thông
qua việc quan sát và tìm hiểu về quốc kì Việt Nam tại quảng trường Ba Đình).
– Năng lực tư duy và lập luận toán học (xuyên suốt bài học).
– Năng lực mô hình hoá toán học (thông qua việc sử dụng các kiến thức về vectơ trong
không gian để trả lời các câu hỏi trong phần Vận dụng).
– Năng lực giao tiếp toán học (xuyên suốt bài học).
– Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học (xuyên suốt bài học).

II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
1. Nếu ở lớp 10 HS đã được giới thiệu về vectơ trong mặt phẳng và các phép toán vectơ trong
mặt phẳng thì trong chương trình Hình học lớp 12, HS tiếp tục được giới thiệu về vectơ
trong không gian và các phép toán vectơ trong không gian. Nhìn chung, các khái niệm về
vectơ trong không gian là sự mở rộng của các khái niệm tương ứng về vectơ trong mặt
phẳng. Khi giảng dạy, nếu có thời gian, GV nên nhấn mạnh đến sự tương đồng giữa các
khái niệm này. Đối với những HS vẫn còn nhớ các khái niệm, quy ước, tính chất của

phép toán vectơ trong mặt phẳng như giá của vectơ, vectơ-không, tính chất giao hoán
của phép cộng vectơ,…, GV có thể đi nhanh qua các nội dung đó để tiết kiệm thời gian
trên lớp.
2. Các phép toán vectơ trong không gian bao gồm phép cộng hai vectơ, phép trừ hai
vectơ, phép nhân một số với một vectơ và tích vô hướng của hai vectơ được định nghĩa
hoàn toàn tương tự như trong trường hợp của vectơ trong mặt phẳng. Do đó trước khi
31

trình bày về mỗi phép toán vectơ trong không gian, GV có thể yêu cầu HS nhắc lại định
nghĩa của các phép toán tương ứng trong mặt phẳng như một cách để dẫn nhập vào
nội dung mới. Có một số điểm sau GV cần lưu ý:
 Các tính chất của phép toán vectơ trong mặt phẳng vẫn đúng đối với phép toán

vectơ trong không gian;
 Quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng được mở rộng thành quy tắc hình hộp

trong không gian;
 Chương trình 2018 không đề cập đến kiến thức về ba vectơ đồng phẳng, do đó SGK mới
cũng không nhắc đến nội dung này;
 Khi định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ trong không gian, có một khái niệm mới

là “góc giữa hai vectơ trong không gian''. Nếu có thể, GV nên nhấn mạnh mối liên
hệ giữa khái niệm này với khái niệm ''góc giữa hai đường thẳng trong không gian''
mà HS đã học ở lớp 11.
3. Các ví dụ và luyện tập được thiết kế trong bài học này đều xoay quanh các đối tượng hình
học trong không gian. Điều này giúp HS thấy được rằng, ngoài các vectơ trong mặt phẳng
như đã học ở lớp 10, vectơ còn xuất hiện rất nhiều (và chủ yếu) trong không gian. GV cần
đảm bảo HS vẫn nắm được các kết quả cơ bản của hình học không gian hay các tính chất
đặc trưng của hình chóp, hình tứ diện, hình lăng trụ, hình hộp,… để sử dụng khi cần.
4. GV khuyến khích HS tìm hiểu thêm các hình ảnh về vectơ trong không gian được sử dụng
trong thực tiễn. GV có thể gợi ý HS tập trung vào các đại lượng có hướng quen thuộc ở
phổ thông như độ dịch chuyển, lực, vận tốc hay gia tốc để có được những ví dụ phong phú
về vectơ trong không gian.
5. GV chuẩn bị: sách giáo khoa, giáo án, hình ảnh liên quan đến các nội dung trong bài.

III. GỢI Ý DẠY BÀI HỌC
1.Thời lượng
Dự kiến phân bổ thời gian: 6 tiết.
+ Tiết 1: Mục 1;
+ Tiết 2 – 3: Mục 2 và một số bài tập;
+ Tiết 4: Mục 3;
+ Tiết 5 – 6: Mục 4 và một số bài tập.
32

2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học

Tiết 1
HOẠT ĐỘNG

Nêu vấn đề

MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU

GỢI Ý THỰC HIỆN

HS quan sát hình ảnh vectơ GV trình bày theo SGK, có thể đưa
trong không gian và liên hệ thêm các ví dụ gợi lên hình ảnh của
với vectơ trong mặt phẳng, vectơ trong không gian.
từ đó nảy sinh nhu cầu tìm
hiểu về vectơ trong không
gian và các khái niệm liên
quan.

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
HĐ1

HS quan sát và nhận biết GV triển khai như trong SGK. Nếu
hình ảnh về vectơ trong GV thay thế hình ảnh trong HĐ1 bởi
không gian.
một hình ảnh tương tự thì cần chú ý
rằng trong hình ảnh được lựa chọn
cần có ít nhất ba ''mũi tên'' không
cùng nằm trong một mặt phẳng để
thể hiện các vectơ trong không gian.
Gợi ý. a) Các đoạn thẳng có mũi tên
màu đỏ thể hiện rằng lực căng dây
nằm dọc theo dây treo và hướng về
phía móc treo của cần cẩu. Độ lớn
của các lực căng dây là xấp xỉ bằng
nhau.
b) Các đoạn thẳng không cùng nằm
trong một mặt phẳng.
Chú ý. Nếu câu hỏi a) giúp HS nhận
ra các đặc điểm giống nhau giữa
vectơ trong không gian và vectơ
trong mặt phẳng thì câu hỏi b) giúp
HS nhận ra sự khác nhau giữa hai
khái niệm đó.
33

Khung kiến thức

Khái niệm về vectơ trong GV trình bày theo SGK.
không gian và độ dài của
vectơ trong không gian.

Câu hỏi

HS tìm một số ví dụ về các
đại lượng có thể được biểu
diễn bởi vectơ trong không
gian.

Chú ý

Tóm tắt các kí hiệu liên GV triển khai theo SGK. Lưu ý rằng
quan đến vectơ và khái niệm các kí hiệu về vectơ, độ dài vectơ hay
giá của vectơ.
khái niệm về giá của vectơ hoàn toàn
giống như trường hợp vectơ trong
mặt phẳng.

Ví dụ 1

HS nhận biết được vectơ
trong không gian, xác định
được vectơ nào có giá nằm
trong một mặt phẳng cho
trước, tính được độ dài của
vectơ cho trước trong một
tình huống cụ thể.

Luyện tập 1

HĐ2

HS nhận biết được quan hệ
cùng phương, quan hệ cùng
hướng, ngược hướng và
quan hệ bằng nhau của hai
vectơ trong không gian.

GV yêu cầu HS quan sát các hình
ảnh trong bài và tìm thêm các hình
ảnh tương tự. Các đại lượng có thể
được biểu diễn bằng vectơ và quen
thuộc với HS bao gồm vận tốc và lực.
GV nên khuyến khích HS đưa ra các
hình ảnh mà ở đó vectơ biểu diễn
nằm trong không gian.

GV triển khai theo SGK.
GV yêu cầu HS tự thực hiện và yêu
cầu một HS lên bảng trình bày.
 
 
Gợi ý. a) AC , AD ;
b) AC , AD ' .

GV triển khai như trong SGK. Trước
khi thực hiện hoạt động này, GV có
thể hỏi HS về hai vectơ cùng
phương, cùng hướng/ngược hướng,
hai vectơ bằng nhau trong mặt
phẳng. Có thể bắt đầu bằng cách đặt
câu hỏi: ''Trong mặt phẳng, hai vectơ
có giá song song thì cùng phương.
Nếu trong không gian hai vectơ có
giá song song thì có thể kết luận gì về
phương và hướng của chúng?''.

34

Tương tự, GV có thể yêu cầu HS
nhắc lại định nghĩa về hai vectơ bằng
nhau trong mặt phẳng và đặt câu
hỏi: ''Hai vectơ bằng nhau trong
không gian có thể được định nghĩa
theo cách tương tự không?''.
Gợi ý. a) Hai vectơ cùng hướng
(quan sát).
 
b) Hai vectơ a ,  b có độ dài bằng
nhau (đo trực tiếp).
Sau khi HS trả lời được hai câu hỏi
trong HĐ2, GV nói rằng trong

trường hợp đó ta nói hai vectơ a và

b là bằng nhau (trong không gian)
và dẫn tới khung kiến thức tiếp theo.
Chú ý. Quan hệ cùng phương, cùng
hướng, ngược hướng và bằng nhau
của hai vectơ trong không gian trên
thực tế được đưa về trường hợp
tương ứng trong mặt phẳng. Vì vậy
trong HĐ2 ta hướng HS tập trung

Khung kiến thức

Câu hỏi

vào mặt phẳng (P) chứa giá của hai
 
vectơ a , b .
Khái niệm cùng phương, GV phát biểu như trong SGK.
cùng hướng/ngược hướng,
bằng nhau của hai vectơ
trong không gian.
HS nhận biết được hai vectơ GV hướng dẫn HS lần lượt tìm mối
cùng bằng vectơ thứ ba thì quan hệ về phương, hướng và độ dài
của hai vectơ để suy ra hai vectơ đó
bằng nhau.
bằng nhau.

35

Chú ý

HS thừa nhận một tính chất
về hai vectơ bằng nhau
trong không gian và các quy
ước về vectơ-không.

GV trình bày theo SGK. Trên thực
tế, GV có thể giải thích chú ý đầu
tiên cho HS dựa trên HĐ2 như sau:
qua O vẽ đường thẳng song song với

giá của a ; gọi (P) là mặt phẳng chứa

đường thẳng vừa vẽ và giá của a ;
trong mặt phẳng (P) lấy điểm M
 
(duy nhất) thoả mãn OM  a thì M
là điểm cần tìm.

Ví dụ 2

HS xác định được vectơ
bằng vectơ cho trước, xác
định được điểm M để vectơ

OM bằng một vectơ cho
trước trong một trường hợp
cụ thể.

GV triển khai theo SGK.

Luyện tập 2

Vận dụng 1

GV gọi một số HS trả lời và nhận
xét.

Gợi ý. a) DC ;
b) Điểm N thuộc cạnh BC sao cho
BN = AM.

HS nhận biết được hai vectơ GV có thể nhắc lại khái niệm về
bằng nhau trong một tình vectơ biểu diễn độ dịch chuyển như
huống thực tiễn.
sau: nếu một vật chuyển động
(thẳng) từ điểm A đến điểm B thì
vectơ biểu diễn độ dịch chuyển là

AB .
Gợi ý. Nếu biểu thị vị trí của thang
máy ở các tầng 15, 22, 29 lần lượt bởi
các điểm A, B, C thì vectơ biểu thị độ
dịch chuyển của thang máy trong hai


lần di chuyển là AB và BC . Vì A, B,

C thẳng hàng theo thứ tự đó nên AB


và BC cùng hướng. Hơn nữa AB và

BC đều có độ dài bằng tổng chiều
 
cao của 7 tầng nên AB  BC . Vậy
 
AB  BC .

36

Tiết 2 - 3
HOẠT ĐỘNG

MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU

GỢI Ý THỰC HIỆN

2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
a) Tổng của hai vectơ trong không gian

HĐ3

Dẫn dắt HS đến định nghĩa GV triển khai như trong SGK. Chú ý
về tổng của hai vectơ trong rằng HĐ3 hoàn toàn tương tự như
không gian.
hoạt động dẫn tới định nghĩa về tổng
của hai vectơ trong mặt phẳng.
Trước khi bắt đầu, GV có thể (yêu
cầu HS) nhắc lại tính chất ''Nếu tứ
giác ABCD là hình bình hành thì
 
AB  DC '' trong SGK Toán 10.
 
Gợi ý. a) Vì AB  AB (cùng bằng

a ) nên bốn điểm A, B, A', B' đồng
phẳng và tứ giác ABB'A' là hình bình
 
hành. Suy ra AA  BB . Tương tự, ta
 
có BB  CC .
 
b) Từ câu a, suy ra AA  CC  , do đó
bốn điểm A, C, A', C' đồng phẳng và
tứ giác ACC'A' là hình bình hành. Vì
 
vậy AC  AC  .

Khung kiến thức

Định nghĩa về tổng của hai GV trình bày theo SGK.
vectơ trong không gian và
phép cộng hai vectơ.

Nhận xét

HS nhận biết quy tắc ba GV trình bày như trong SGK.
điểm và quy tắc hình bình
hành (trong mặt phẳng) vẫn
đúng trong không gian.

Ví dụ 3

HS xác định được tổng của GV triển khai theo SGK.
hai vectơ trong không gian GV yêu cầu HS tự thực hiện và yêu
và tính được chiều dài của cầu một HS lên bảng trình bày.
vectơ tổng.

Luyện tập 3

37

Gợi ý.
    
AC  CD  AC  CD  AD  1.
Chú ý

Một số tính chất của phép GV triển khai theo SGK.
cộng vectơ trong không
Chú ý rằng các tính chất này hoàn
gian.
toàn giống các tính chất của phép
cộng vectơ trong mặt phẳng.

Ví dụ 4

GV triển khai theo SGK, lưu ý nhấn
mạnh vào các tính chất của phép
cộng vectơ được sử dụng ở mỗi phép
biến đổi.
Chú ý. HS có thể thực hiện chuyển vế
và đổi dấu các vectơ để đưa đẳng
thức đã cho về đẳng thức giữa hiệu
của hai vectơ. Trong trường hợp đó,
HS sử dụng được quy tắc ba
điểm và các tính chất của
phép cộng vectơ trong
không gian để chứng minh
một đẳng thức vectơ.

GV nên nhắc HS rằng tại thời điểm
này, chúng ta chưa học về hiệu của
hai vectơ trong không gian, do đó HS
chỉ nên sử dụng các tính chất của
phép cộng vectơ để chứng minh
đẳng thức đã cho.

Luyện tập 4

GV yêu cầu HS tự thực hiện và yêu
cầu hai HS lên bảng trình bày. GV
nhận xét và kết luận.
Gợi ý.
    
AB  CD  AD  DB  CD
  
 AD  DB  CD
    
 AD  CD  DB  AD  CB .




HĐ4

38








HS giải thích được quy tắc GV triển khai như trong SGK. GV có
hình hộp.
thể gợi ý HS sử dụng quy tắc hình
bình hành đã học trong mặt phẳng
(và vẫn đúng trong không gian).

Gợi ý. a) Trong
hìnhbình
hành
 

ABCD ta có AB  AD  AC .
b) Từ câu a suy ra
    
AB  AD  AA  AC  AA .
Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên
AA' // CC' và AA' = CC', suy ra tứ
giác ACC'A' là hình bình hành.
  
Do đó AC  AA  AC  ,
   
suy ra AB  AD  AA  AC  .
Khung kiến thức

Quy tắc hình hộp.

GV phát biểu như trong SGK. GV
nhấn mạnh sự tương đồng giữa quy
tắc này và quy tắc hình bình hành
mà HS đã học ở lớp 10.

Câu hỏi

HS áp dụng được quy tắc
hình hộp để nhận được đẳng
thức tương tự đẳng thức đã
phát biểu trong khung kiến
thức.

GV yêu cầu HS quan sát hình hộp đã
cho và trả lời câu hỏi. GV có thể thay
đổi đỉnh B của hình hộp bằng một
đỉnh tuỳ ý và gọi một số HS trả lời.
   
Gợi ý. BC  BA  BB  BD .

Ví dụ 5

GV triển khai theo SGK.

Luyện tập 5

GV gọi một HS trình bày lời giải trên
bảng. GV gọi một vài HS nhận xét và
kết luận.
HS áp dụng được quy tắc Gợi ý.
hình hộp để chứng minh các       
BB  CD  AD  BB  BA  BC  BD.
đẳng thức về vectơ.
Chú ý. Vì vế phải của đẳng thức là
một vectơ có điểm đầu là B nên để áp
dụng quy tắc hình hộp, HS cần tìm
các vectơ cũng có điểm đầu là B và
lần lượt bằng các vectơ ở vế trái.

b) Hiệu của hai vectơ trong không gian

HĐ5

HS nhận biết được khái Trước khi triển khai HĐ5, GV có thể
niệm hai vectơ đối nhau giải thích nhanh về hai khái niệm lực
trong không gian.
tác dụng và phản lực được giới thiệu
39

trong chương trình Vật lí lớp 10 và
mối quan hệ giữa hai lực đó (Định
luật III Newton).
Gợi ý. Vì hai lực cùng phương, ngược
hướng và có độ lớn bằng nhau nên
hai vectơ biểu diễn hai lực đó cùng
phương, ngược hướng và có độ lớn
bằng nhau.
Chú ý. Hình ảnh mũi tên thể hiện hai
lực trên Hình 2.15 chỉ mang tính
tương đối để HS dễ dàng quan sát.
Trên thực tế lực tác dụng và phản lực
có giá trùng nhau.
Khung kiến thức

Khái niệm vectơ đối.

GV trình bày theo SGK.
Định nghĩa về vectơ đối của một
vectơ trong không gian hoàn toàn
giống với định nghĩa về vectơ đối của
một vectơ trong mặt phẳng.

Chú ý

HS nhận biết được một số GV trình bày theo SGK.
quy ước và tính chất của
vectơ đối.

Khung kiến thức

Định nghĩa về hiệu của hai GV triển khai theo SGK.
vectơ trong không gian và Định nghĩa về hiệu của hai vectơ
phép trừ hai vectơ.
trong không gian hoàn toàn giống
với định nghĩa về hiệu của hai vectơ
trong mặt phẳng. Do đó GV có thể
yêu cầu HS nhắc lại định nghĩa về
hiệu của hai vectơ trong mặt phẳng
và dẫn dắt HS đến định nghĩa về
hiệu của hai vectơ trong không gian.

Nhận xét

HS nhận biết một tính chất GV triển khai theo SGK.
của phép trừ vectơ.

40

Ví dụ 6

GV trình bày theo SGK.

Luyện tập 6
HS giải thích được vì sao hai
vectơ cho trước là đối nhau
và thực hiện được phép trừ
vectơ trong một tình huống
cụ thể.

Vận dụng 2

GV yêu cầu HS tự thực hiện, sau đó
ghi bài chữa trên bảng.


Gợi ý. a) Hai vectơ BN và DM cùng
phương, ngược hướng và có cùng độ
dài nên là hai vectơ đối nhau.
     
b) SD  BN  CM  SD  DM  CM
  
 SM  CM  SC .

HS nhận biết được hai vectơ GV yêu cầu HS nhận xét về mối liên
đối nhau trong thực tiễn.
hệ giữa phương, hướng và độ lớn của
hai vectơ vận tốc, từ đó rút ra kết luận.
Gợi ý. Quan sát thấy hai vectơ vận
tốc cùng phương (vì làn lên và làn
xuống ''song song'') và ngược hướng
(một làn đi lên và một làn đi xuống).
Thông thường thì làn lên và làn
xuống có cùng tốc độ di chuyển nên
độ lớn của hai vectơ vận tốc bằng
nhau. Vì vậy hai vectơ vận tốc là hai
vectơ đối nhau.
Chú ý. Nếu HS lập luận rằng, vì lý do
nào đó (ví dụ như để đảm bảo an
toàn), làn xuống di chuyển chậm
hơn làn lên thì HS hoàn toàn có thể
trả lời rằng hai vectơ vận tốc không
là hai vectơ đối nhau.

Bài tập 2.4

HS thực hiện được các phép GV yêu cầu một số HS lên bảng trình
toán cộng, trừ hai vectơ bày, gợi ý HS sử dụng linh hoạt các
trong không gian.
tính chất của phép cộng/trừ vectơ và
quy tắc hình hộp.

Bài tập 2.6

HS chứng minh được một GV gợi ý HS biến đổi đẳng thức đã
 
tính chất của hình bình cho về đẳng thức BA  CD và rút ra
hành.
kết luận.

41

Tiết 4
HOẠT ĐỘNG

MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU

GỢI Ý THỰC HIỆN

3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

HĐ6

Hình thành khái niệm tích – GV triển khai như trong SGK.
của một số với một vectơ
Gợi ý. Vì MN là đường trung bình
trong không gian.
của tam giác ABC nên MN // BC và
1
MN  BC . Tứ giác BCC B là hình
2
bình hành nên BC // B'C' và
BC  BC  . Suy ra MN // B'C' và


1
MN  BC . Do đó MN và BC
2
cùng phương và cùng hướng, đồng
 1 
thời MN  BC .
2
– Sau khi kết thúc HĐ6, GV nhấn

mạnh rằng vectơ MN được gọi là

1
tích của số thực với vectơ BC .
2
Định nghĩa trong trường hợp tổng
quát sẽ được trình bày trong khung
kiến thức tiếp theo.

Khung kiến thức

Định nghĩa về tích của một GV trình bày theo SGK.
số với một vectơ trong
không gian và phép nhân
một số với một vectơ.

Câu hỏi

HS nhận biết được tích của HS áp dụng định nghĩa về tích của
1, –1 với một vectơ trong vectơ với một số để trả lời. GV nhấn
không gian.
mạnh HS cần so sánh phương,



hướng và độ dài của 1a và a , (1)a

và a để kết luận.
 


Gợi ý. 1a  a , (1)a  a .

42

Chú ý

Ví dụ 7

Quy ước về phép nhân số 0
với một vectơ và phép nhân
một số với vectơ-không;
điều kiện để hai vectơ trong
không gian cùng phương.

GV trình bày theo SGK.
Chú ý. Các quy ước và tính chất này
giống như trong trường hợp phép
nhân một số với một vectơ trong mặt
phẳng.
GV triển khai theo SGK. GV nhấn
mạnh việc tìm quan hệ về phương,


hướng
và
độ
dài
của
hai
vectơ
CC

và OM để từ đó dẫn tới đẳng thức
đã phát biểu.
Chú
Ở đây ta không viết
 ý. 
CC   2OM vì đẳng thức này cần
dùng đến một tính chất của phép
nhân một số với một vectơ sẽ trình
bày ở phần sau.

Luyện tập 7

HS giải thích được vì sao
GV yêu cầu HS tự thực hiện và gọi
một vectơ bằng tích của một
một HS trả lời.
số với một vectơ khác.
Gợi ý. Áp dụng định lí Thalès trong
tam giác SAB ta có EF // AB và
1
EF  AB . Vì tứ giác ABCD là hình
3
bình hành nên AB // CD và
AB  DC. Do đó EF // DC và


1
EF  DC. Hai vectơ EF và DC
3
 1 
cùng hướng nên EF  DC .
3

Chú ý

Một số tính chất của phép GV triển khai theo SGK.
nhân một số với một vectơ
trong không gian.

Ví dụ 8

HS sử dụng được các tính GV triển khai theo SGK.
chất của phép nhân một số
với một vectơ trong không
gian để chứng minh một
đẳng thức về vectơ.
43

Chú ý

HS nhận được một kết quả GV triển khai theo SGK.
mở rộng của kết quả đã biết
trong mặt phẳng.

Luyện tập 8

HS sử dụng được các tính GV gợi ý HS sử dụng kết quả trong
chất của phép nhân một số Ví dụ 8 để biểu diễn tổng
với một vectơ trong không   
IB  IC  ID .
gian để chứng minh một
     
đẳng thức về vectơ, từ đó dẫn Gợi ý. IA  IB  IC  ID  IA  3IG
  
tới khái niệm trọng tâm của
 IA  AI  0 .
tứ diện theo ngôn ngữ vectơ.

Vận dụng 3

HS vận dụng được tính chất
của phép nhân một số với
một vectơ trong không gian
trong một tình huống thực
tiễn.

GV gợi ý HS xác đ